<T->
          Matemtica
          Imenes & Lellis
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Mrcio Imenes
          Marcelo Lellis
                                
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 1 edio, So Paulo,
          2009, Editora Moderna Ltda.

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
         Dados do livro em tinta
          
          (C) Luiz Mrcio Imenes,
          Marcelo Lellis 2009

          Coordenao editorial:
          Juliane Matsubara Barroso

          Coordenao de arte:
          Wilson Gazzoni Agostinho

          Coordenao de reviso:
          Elaine Cristina del Nero

          ISBN 978-85-16-06264-4 

          Todos os direitos reservados
           Editora Moderna Ltda.
          
          Rua Padre Adelino, 758 
          -- Belenzinho -- So Paulo
          -- SP -- Brasil -- 
          CEP 03303-904
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501 
          ~,www.moderna.com.br~,
          2011
<p> 
                               I
 Dados Internacionais de
  Catalogao na Publicao
  (CIP) 
 (Cmara Brasileira do Livro,
  SP, Brasil)

 Imenes, Luiz Mrcio 
  Matemtica : Imenes & Lellis / Luiz Mrcio Imenes, Marcelo Lellis. -- 1. ed. -- So Paulo : Moderna, 2009.

  "Componente curricular : Matemtica".
  Obra em 4 v. para alunos do 6 ao 9 ano
  Edio no consumvel
  Bibliografia.
  
  1. Matemtica (Ensino fundamental) I. Lellis, Marcelo. II. Ttulo.

 09-00947           CDD-372.#g
<p>
 ndices para catlogo
  sistemtico:
 1. Matemtica : Ensino funda-
  mental 372.#g
<p>
                            III
 Luiz Mrcio Imenes

  Engenheiro civil pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo.
  Licenciado em Matemtica pela Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras de Moema.
  Mestre em Educao Matemtica pela Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho.
  Professor em cursos para professores do Ensino Fundamental e Mdio.
  Autor de obras didticas e paradidticas de Matemtica.

 Marcelo Lellis

  Bacharel em Matemtica pelo Instituto de Matemtica e Estatstica da Universidade de So Paulo.
  Mestre em Educao Matemtica pela Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo.
<p>
  Assessor para o ensino de Matemtica no Ensino Fundamental.
  Autor de obras didticas e paradidticas de Matemtica.
<p>
                               V
 Caro aluno,

  Este livro ir ajud-lo a aprender muitas coisas novas.
  Cuide bem dele!
  Ele precisa ser protegido da gua, da poeira e de outras situaes que possam danific-lo.
  Procure mant-lo limpo, sem rabiscos, rasgas e sem recortes.
  Lembre-se de que, depois de voc, ele ser usado por outros alunos nos prximos anos.
  Por isso, ao final do ano letivo, voc dever devolv-lo bem conservado.
  Sua colaborao  importante!
<p>
<p>
                            VII
 Caros alunos e alunas

  Escrevemos este livro pensando em voc. Mas voc perguntar: Como fizeram isso se no me conhecem?. No conhecemos, mas imaginamos!
  Imaginamos algum que quer se descobrir, que tem curiosidade pelo mundo, que pode gostar de coisas variadas: dana, esportes, msica, jogos de computador etc.
  Imaginamos ainda que queira, um dia, ter uma profisso que lhe d felicidade e qualidade de vida e queira ser um cidado ou uma cidad atuante, consciente, que contribua para um mundo justo.
  Alm disso, sabemos que voc consegue aprender e desenvolver suas capacidades. E que tem opinies, quer pensar de maneira independente e ser responsvel pelas prprias decises.
  Tudo isso que idealizamos coincide com o que desejamos para nossos filhos e netos e para aqueles que foram nossos alunos. Sua famlia e seus professores desejam o mesmo e querem lhe proporcionar uma boa formao. Ns, autores, podemos contribuir um pouquinho para a conquista desses objetivos.
  A Matemtica, aprendida de maneira adequada,  til nas profisses e na formao de cidados. Desenvolve o raciocnio, ajuda a pensar de forma independente, contribui para a tomada de decises. Por isso, escrevemos este livro, que convida seus leitores a pensar, em vez de lhes dar receitas prontas; que prope problemas, no lugar de enfatizar exerccios repetitivos; que relaciona a Matemtica com diversos aspectos do mundo em que vivemos.
  Claro que isso s funciona com seu empenho, porque este livro pede concentrao, raciocnio e trabalho. Pense, pergunte, envolva-
 -se na resoluo de problemas, conte como pensou, oua argumentos dos colegas e reflita sobre eles, discorde, mas justifique sua opi-
<p>
                             IX
 nio, informe-se, d palpites, participe da aula. Entre outros motivos, isso  necessrio para que seu professor ou sua professora possa orient-lo.
  No se sinta obrigado a resolver todos os desafios, mas empenhe-se sempre porque o aprendizado da Matemtica traz frutos para toda a vida. Um deles aparece logo: acredite, aprender Matemtica  um prazer!

 Os autores
<p>
<p>
                             XI
 Caros pais e mes

  Os professores tm clara importncia na formao de seus filhos. Ns, autores, tambm contribumos um pouco. Por isso, dirigimo-nos aos alunos na pgina anterior e apresentamos o tipo de formao que desejamos para eles. Acreditamos que, no geral, vocs, pais, concordaro conosco.
  No entanto, alguns tero dvidas em relao a certos contedos de nossa proposta, porque analisaro o livro baseados em sua prpria experincia escolar. Acontece que a sociedade mudou, o ensino tem-se transformado e os critrios de competncia que valiam no passado no se aplicam mais. Atualmente, os objetivos so outros. Comparando os dois quadros seguintes, pode-se ter uma ideia do que  novo. Embora se refiram  Matemtica, os dados 
<p>
expressam um esprito de mudana que envolve a educao como um todo.

<R+>
 O que j foi importante:
 Possuir destreza em clculo numrico e algbrico feito com lpis e papel.
 Fazer muitos exerccios mecnicos para fixao.
 Conhecer receitas para resolver problemas tpicos.
 Decorar frmulas e definies.

 O que importa hoje:
 Possuir habilidades em clculo mental, estimativa e uso de calculadora.
 Compreender os usos da Matemtica na sociedade atual.
 Ter competncia para enfrentar problemas novos.
 Compreender conceitos e saber como as frmulas se originaram.
<R->

  As novas ideias no so apenas desejo de educadores progressistas. Elas correspondem tambm s 
<p>
                           XIII
exigncias da sociedade e do mercado de trabalho. Pouco a pouco, elas mudam o perfil dos exames vestibulares e concursos. Esses novos paradigmas orientam nossa obra e explicam as diferenas entre nossa proposta e as do ensino tradicional, que conhecemos quando ramos estudantes.
  Quais os resultados das novas ideias na formao dos alunos?
  As experincias de muitas escolas e professores, pioneiros na implantao de novos projetos, atestam que j estamos formando estudantes autnomos e criativos, competentes para estudar e pesquisar por si mesmos.
  Os pais que desejam filhos criativos e autnomos no aprendizado podem e devem colaborar para isso. Vrias pesquisas comprovam um melhor desempenho de alunos cujos pais acompanham o trabalho escolar. No entanto, esse acompanhamento no implica ensinar, salvo rarssimas excees. As novas diretrizes educacionais, as propostas deste livro e a forma de trabalhar dos professores atuais indicam que  razovel os pais procurarem solues com os filhos, sem, porm, antecipar-lhes respostas. Poup-los do esforo do aprendizado impede que caminhem sozinhos e colham os frutos do prprio trabalho.

 Os autores
<p>
                             XV
 Caros colegas professores e
  professoras

  Esta obra decorre de nossas ideias e experincias, mas tambm dos estudos e prticas em torno da Educao Matemtica. Professores, educadores, matemticos, psiclogos e outros profissionais constroem novos saberes que vm transformando o ensino e a aprendizagem de nossa disciplina em vrios pases, incluindo o Brasil. Com tais elementos, pudemos elaborar um trabalho inovador, cujas caractersticas detalhamos no Guia e Recursos Didticos.
 Aqui, vamos apenas lhes apresentar nossas concepes educacionais e motivaes em relao ao ensino de Matemtica, evitando questes tcnicas.
  Buscamos educar por meio da Matemtica, em vez de simplesmente expor contedos matemticos. Esse intuito se reflete nas atividades em que os alunos devem
<p>
 analisar textos, tirar concluses, pesquisar no dicionrio do livro (em suma, aprender a aprender); nas sees que estimulam a responsabilidade, como aquelas em que os alunos se conscientizam do que compreenderam (ou no); nos testes de autoavaliao e quando usamos recursos matemticos para mostrar aspectos bons ou maus de nossa sociedade.
  Queremos que todos aprendam Matemtica. Por isso, eliminamos diversos obstculos  aprendizagem determinados por uma tradio equivocada. Adequamos a exposio dos contedos  maturidade dos alunos, modificando a ordem tradicional quando era recomendvel e reapresentando-os mais de uma vez, sob diferentes enfoques, para ampliar oportunidades de aprendizagem e manter os alunos em contato com os contedos ao longo dos anos.
  Procuramos mostrar que a Matemtica tem sentido (no  somente um conjunto de frmulas e regras
<p>
                           XVII
 inexplicveis), est em nosso dia-a-dia e contribui para a humanidade progredir. Por isso, relacionamos a Matemtica com a realidade, com outras disciplinas, com a histria humana. Destacamos suas aplicaes e exploramos os vrios significados de cada conceito trabalhado.
  Finalmente, tentamos transmitir um pouco do prazer que a Matemtica pode nos dar, propondo os problemas desafiadores, as investigaes que levam a descobrir padres surpreendentes, o trabalho em torno de arte e geometria etc.
  Tudo isso que desejamos pode se tornar realidade com a ajuda dos colegas que, por compartilharem de nossas ideias e terem motivaes similares, adotam esta obra. Aproveitando as propostas que lhes agradam, aprimorando as imperfeitas, substituindo outras por criaes prprias, vocs contribuiro decisivamente para os alunos se desenvolverem como indi-
<p>
 vduos e cidados competentes matematicamente, mais crticos e conscientes.

 Os autores
<p>
                            XIX
 Estrutura da obra

 Abertura de captulo

 Texto e leitura: para aprender a
  aprender

  Interpretar um texto, coment-lo criticamente, ter novas ideias baseado nele e usar informaes so competncias fundamentais.

 Conversando sobre o texto

 Dilogo e reflexo constroem a
  aprendizagem

  Discutir ideias matemticas oralmente, considerar outras opinies e saber discordar com argumentos favorecem uma aprendizagem efetiva e a formao do cidado.
<p>
 Ao/Investigao

 Aprendizado de forma ativa

  Jogos, construes de slidos geomtricos, experimentaes, investigaes com a calculadora e outras atividades ldicas so caminhos prazerosos para a aprendizagem.
  Em particular, as aes investigativas ajudam a descobrir, criar e produzir Matemtica!

 Confira!

 Os objetivos fundamentais do
  captulo

  Momento de conscientizao: saber o que foi aprendido ou no  o caminho para corrigir eventuais falhas.
<p>
                            XXI
 Problemas e exerccios

 Trabalho cooperativo com
  assistncia do professor

  Explicar uma resoluo, aprender com as ideias de colegas e procurar estratgias de soluo so capacidades que se desenvolvem com a ajuda da Matemtica.

 Problemas e exerccios para casa

 Momento de trabalho individual

  Estudando a ss, pode-se avaliar o aprendizado de conceitos e tcnicas, alm de reforar o que for necessrio.

 Dicionrio

 Um recurso para promover a
  autonomia dos alunos

  A Matemtica tem um vocabulrio prprio, portanto  natural desconhecer o significado de certas palavras.
  Quem sabe consultar um dicionrio, entretanto, supera dvidas e adquire aos poucos o vocabulrio matemtico.

 Superteste para autoavaliao

 Outro recurso para promover a
  autonomia dos alunos

  Os testes propiciam a autoavaliao, desenvolvendo responsabilidade e segurana.

 Problemas e exerccios
  complementares

 Para quem quer ou precisa
  explorar mais

  Havendo necessidade, interesse ou tempo, esta seo oferece uma coleo de questes separadas por captulos e por itens.
<p>
                          XXIII
<R+>
 Sugetes de leitura para o aluno (pgina 1029)

 Quem aprende a gostar de ler quer sempre ler mais
<R->

  Para os alunos que descobriram sozinhos o prazer da leitura e para os que comearam a perceb-lo nesta obra, sugerimos novos textos.

 Referncias bibliogrficas
  (pgina 1037)

 Pesquisa

  Muitas leituras foram fundamentais para que pudssemos organizar esta coleo. Aqui, destacamos as obras principais.
<p>
 Conferindo respostas

 Mais um recurso para a promoo
  da autonomia

  Esta seo oferece orientaes aos alunos sobre como aprender a decidir se chegaram a uma resposta adequada ou no. Essa  a base da autonomia.

 Um toque a mais

 Para ampliar a viso sobre a
  Matemtica

  A relao da Matemtica com o mundo, sua importncia em nosso dia-a-dia e no progresso humano e um pouco de sua histria so os atrativos dessa seo.
<p>
                           XXV
 Seu livro em Braille

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s outras, separadas), o seu li-
 vro em braille apresenta descries substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so ex-
 plicadas, procurando fazer voc compreender o que elas representam.

  Dicas para estudar no seu livro em braille:
<R+>
 1 -- As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver estudando com outros colegas.
 2 -- Quando voc encontrar o sinal _`[ e, depois dele, uma frase terminada pelo sinal _`] saiba que se trata de uma explicao especial chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille.
 3 -- Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos.
 4 -- Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a outra pessoa capaz de esclarec-lo.
<p>
                          XXVII
 Sumrio Geral

 Primeira Parte

 Captulo 1

 Nmeros primos :::::::::::: 1
 Nmeros que originam
  outros ::::::::::::::::::: 1
 Ao/Investigao --
  Uma investigao
  Matemtica :::::::::::::: 13
 Decomposio em fatores
  primos ::::::::::::::::::: 20
 Clculo do mmc :::::::::::: 29
 Ao --
  Quatro em linha ::::::::: 35
 Um toque a mais --
  Curiosidades sobre os
  nmeros primos ::::::::::: 41

 Captulo 2

 Operaes com fraes ::::: 50
 Revendo as fraes :::::::: 50
 Adio e subtrao :::::::: 64
 Multiplicao ::::::::::::: 75
 Diviso ::::::::::::::::::: 89
 Um toque a mais --
  Msica e fraes: uma
  relao surpreendente :::: 100

 Segunda Parte

 Captulo 3

 Construes geomtricas ::: 109
 Usando os instrumentos de
  desenho :::::::::::::::::: 109
 A construo de formas
  tridimensionais :::::::::: 122
 Ao --
  Quebra-cabea 
  espacial ::::::::::::::::: 129
 Ao --
  Matemtica e 
  publicidade :::::::::::::: 134
 Um toque a mais --
  Um profissional que
  precisa das 
  construes 
  geomtricas :::::::::::::: 135
<p>
                            XXIX
 Captulo 4

 Aplicaes da 
  Matemtica :::::::::::::: 141
 Um pouco da Matemtica 
  do dia-a-dia ::::::::::::: 141
 Ao --
  Entrevistando um
  trabalhador :::::::::::::: 158
 Usando porcentagens ::::::: 167
 Ao --
  Criando e apresentando
  problemas :::::::::::::::: 176
 Um toque a mais --
  Matemtica na linguagem do
  dia-a-dia :::::::::::::::: 183

 Captulo 5

 Retomando a lgebra ::::::: 188
 Frmulas e equaes ::::::: 188
 Resolvendo equaes ::::::: 205
 Resolvendo problemas :::::: 223
 Um toque a mais --
  Pequena coleo de
  problemas :::::::::::::::: 240

 Terceira Parte

 Captulo 6

 ngulos, paralelas e
  polgonos :::::::::::::::: 245
 ngulos notveis e suas
  propriedades ::::::::::::: 245
 Soma das medidas dos
  ngulos internos de um
  tringulo :::::::::::::::: 285
 Soma das medidas dos
  ngulos internos de um
  polgono ::::::::::::::::: 302
 Ao --
  Mosaicos geomtricos :::: 314
 Classificando polgonos ::: 321
 Simetrias e propriedades
  dos quadrilteros :::::::: 346
 Um toque a mais --
  Quadrados, crculos e
  tringulos -- A arte de
  Luiz Sacilotto ::::::::: 363
<p>
                           XXXI
 Quarta Parte

 Captulo 7

 Potncias e razes :::::::: 371
 Expoentes menores 
  que 1 ::::::::::::::::::: 371
 Notao cientfica :::::::: 382
 Propriedades das
  potncias :::::::::::::::: 391
 Razes :::::::::::::::::::: 407
 Ao --
  Tiro ao alvo :::::::::::: 417
 Extraindo razes :::::::::: 422
 Um toque a mais --
  *Bytes, quilobytes,
  megabytes, 
  gigabytes*... :::::::::::: 434

 Captulo 8

 Estatstica e
  possibilidades ::::::::::: 442
 Ao --
  Jogos com dados ::::::::: 442
 Possibilidades e 
  chances :::::::::::::::::: 444
 Tratamento de dados ::::::: 463
 Tirando concluses com
  estatstica :::::::::::::: 485
 Ao --
  Concluses a partir de
  uma amostra :::::::::::::: 491
 Um toque a mais --
  Estatstica: de onde
  vem? ::::::::::::::::::::: 504

 Quinta Parte

 Captulo 9

 Desenhando figuras
  espaciais :::::::::::::::: 511
 Desenhando sobre malhas ::: 511
 Ao/Investigao --
  Comparando a perspectiva
  com o desenho sobre
  malha :::::::::::::::::::: 517
 Desenhando em
  perspectiva :::::::::::::: 520
 Um toque a mais --
  Latitudes e 
  longitudes ::::::::::::::: 530
<p>
                         XXXIII
 Captulo 10

 Clculo algbrico ::::::::: 537
 Deduzindo frmulas :::::::: 537
 Clculos algbricos ::::::: 552
 Produtos de polinmios :::: 571
 Produtos notveis ::::::::: 586
 Fatorao ::::::::::::::::: 599
 Ao --
  Eu tenho. Quem tem? :::: 608
 Um toque a mais --
  Um pouco de histria:
  o incio da lgebra :::::: 614

 Sexta Parte

 Captulo 11

 reas e volumes ::::::::::: 623
 Ideias para o clculo de
  reas e volumes :::::::::: 623
 Frmulas para o clculo de
  reas :::::::::::::::::::: 636
 Ao/Investigao --
  Deduzindo frmulas :::::: 646
<p>
 O teorema de Pitgoras ::: 664
 Um toque a mais --
  Geometria das
  edificaes :::::::::::::: 682

 Captulo 12

 Sistemas de equaes :::::: 688
 Ao --
  Resolvendo quebra-
  -cabeas ::::::::::::::::: 688
 Os sistemas e o mtodo da
  adio ::::::::::::::::::: 690
 Os sistemas e o mtodo da
  substituio ::::::::::::: 705
 Problemas ::::::::::::::::: 716
 Um toque a mais --
  Arquimedes e a coroa do
  rei :::::::::::::::::::::: 728

 Captulo 13

 Geometria experimental :::: 734
  ou no  
  proporcional? :::::::::::: 734
<p>
                           XXXV
 Permetro da
  circunferncia ::::::::::: 758
 Um toque a mais --
  Matemtica e mquinas ::: 769

 Stima Parte

 Problemas e exerccios
  complementares ::::::::::: 777

 Oitava Parte

 Supertestes para
  autoavaliao :::::::::::: 885
 Dicionrio :::::::::::::::: 945
 Conferindo respostas :::::: 987
 Sugestes de leitura para 
  o aluno :::::::::::::::::: 1029
 Referncias
  bibliogrficas ::::::::::: 1037
<R->
<p>
<p>
                         XXXVII
 Nota de Transcrio

  Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, as fraes podem ser escritas, em braille, das seguintes maneiras:
<R+>
 A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este ltimo sem sinal de nmero."
 Exemplo: #:d (trs quartos). 
 B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256) 
 Exemplo: 34 (trs quartos).
 C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos #e#bef ~
 Exemplo: #:d~5
<R->
  Neste livro em braille, estas formas de representao sero aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.

<11>
<p>
<Tmat. i. & l. 8>
<T+1>
 Captulo 1

 Nmeros primos

 Nmeros que originam outros

  As pesquisas histricas indicam que os pensadores gregos de 2.500 anos atrs foram os primeiros a estudar os nmeros pelo simples prazer de conhec-los. Esse interesse frutificou: aqueles sbios fizeram vrias descobertas sobre os *nmeros naturais*, dentre elas a relao entre nmeros e formas geomtricas.

 Procure no dicionrio: nmeros 
  naturais.
 
  Veja, por exemplo, a sequncia dos nmeros cbicos:

<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda 1: Com 8 cubinhos monta-se um cubo. Com 9, 10, 
<p>
  11, ..., 26 cubinhos, isso  impossvel.
 Legenda 2: Com 27 cubinhos volta a ser possvel montar um cubo. 

 Um cubo: 1
 Um cubo formado por oito cubinhos: 8
 Um cubo formado por 27 cubinhos: 27
<R->

  Veja outros nmeros que podem ser associados a formas:

<R+>
_`[{figuras adaptadas seguidas por legendas_`]
<R->

<F->
      1
      ie             2
     i  e        pcccccccc
    i o e       l ooo _
   i oo e      l ooo _
  i ooo e     l ooo _
 i::::::::::e    v--------# 
<F+>

<R+>
 Legenda 1: 6  um nmero triangular, tanto que 6 bolinhas po-
<p>
  dem ser arrumadas na forma de um tringulo equiltero.
 Legenda 2: 9  um nmero quadrado, tanto que 9 bolinhas podem ser arrumadas na forma de um quadrado.
<R->

<12>
  Os sbios gregos tambm perceberam que alguns nmeros naturais eram mais importantes do que outros.

<R+>
_`[{um grego caminhando, diz: "Acho que o nmero 1  o mais importante, porque ele forma todos os outros: 1 mais 1 so 2, 1 mais 1 mais 
1 so 3, e assim vai... Bem, isso  verdade quando se considera a adio. Na multiplicao, o 1 no forma ningum..."_`]
<R->

  Usando a multiplicao e o nmero 2, por exemplo, podemos formar infinitos outros nmeros:
<R+>
 2.2=4; 2.2.2=8; 2.2.2.2=16; ...
<R->
  Note que, s com a multiplicao, no conseguimos gerar o 2 a partir de outro nmero natural. Isto , o nmero 2  gerador de outros nmeros, mas no  gerado por nenhum deles atravs dessa operao.
  Embora o 2 gere infinitos outros nmeros naturais, s com ele e a multiplicao no conseguimos gerar o 6, por exemplo. Alm do 2, existem mais desses nmeros geradores. Foram os antigos gregos que os descobriram. Veja os exemplos:
<R+>
  210 pode ser obtido multiplicando 6 por 35. O nmero 6, por sua vez,  o resultado da multiplicao de 2 por 3, isto , tem os fatores 2 e 3. J o nmero 35 tem os fatores 5 e 7. Como 2, 3, 5 e 7 no podem ser formados por outros nmeros naturais por meio da multiplicao, os menores fatores de 210 (sem contar o nmero 1, que nada altera na multiplicao) so 2, 3, 5 e 7. So esses os nmeros que formam 210 por meio da multiplicao.
 210=2.3.5.7
  60 pode ser obtido multiplicando 4 por 15. Por sua vez, 4=2.2 e 15=3.5.
  Concluso: 60  formado pelos fatores 2 (duas vezes), 3 e 5.
 60=22.3.5
<R->
  Os nmeros que formam outros por meio da multiplicao foram chamados *nmeros primos*. Por que primo? Porque um dos significados da palavra *primo*  primeiro. Considerando a multiplicao, os antigos gregos perceberam que os nmeros primos so os primeiros em importncia, porque so os geradores dos demais nmeros.
  Os nmeros primos so geradores, mas no so gerados, isto , no podem ser escritos como produtos de outros nmeros naturais. Isso significa que um nmero primo no  mltiplo de outros nmeros, alm de 1 e dele mesmo. Assim, pode-se saber quando um nmero  ou no primo. Veja os exemplos:
<R+>
  *65 no  primo* porque  mltiplo de 5: 655=13, resto 0 :o 65=5.13
  Tambm podemos dizer que 65 no  primo porque tem 5 como fator (ou como divisor).
<13>
  *11  nmero primo*. Ele s  mltiplo de 1 e dele mesmo. Explicando de outro modo, seus nicos fatores (ou divisores) so 1 e 11.
<R->
  Podemos, ento, distinguir os nmeros primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. dos nmeros formados por fatores primos 4, 6, 8, 9, 10 etc., os quais so chamados nmeros compostos.

<R+>
_`[{dois gregos conversando. O primeiro diz: "Mas e o 0? E o 1?". O segundo diz: "Pois ! Eles no se encaixam em nenhum 
<p>
  desses dois grupos. Isto , 0 e 1 nem so primos, nem so compostos"_`]

 Conversando sobre o texto

 a) No texto, afirma-se que os sbios gregos da Antiguidade dedicaram-se ao estudo dos nmeros por puro prazer. D sua opinio sobre isso.
 b) Qual  o nmero cbico seguinte ao 27?
 c) Mostre, por meio de um desenho, que 10  um nmero triangular.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 d) Por que se diz que, na multiplicao, o nmero 1 no forma ningum?
 e) Que nmeros podem ser gerados com o 3 e a multiplicao?
<p>
 f)  possvel gerar o 10 usando a multiplicao e o nmero 2 apenas?
 g) Quais so os geradores do nmero 14?
 h) Explique o que  um nmero primo.
 i) O nmero 26  primo ou composto? Explique sua resposta.
 j) Quais so os fatores primos do nmero 20?
 k) O nmero 13  primo ou composto? E o nmero 18?
 l) Qual  o significado da palavra primo na expresso nmero primo?

 Problemas e exerccios

 1. Escreva os trs prximos nmeros de cada sequncia e faa os desenhos correspondentes:
 a) sequncia dos nmeros quadrados:
<p>
_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
 pcccc   pcccccc   pcccccccc
 l o _   l oo _   l ooo _
 v----#   l oo _   l ooo _
          v------#   l ooo _
                     v--------#
<F+>

b) sequncia dos nmeros triangulares:

_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
                          ie
              ie         i  e
             i  e       i o e
   ie       i o e     i oo e
 i o e    i oo e   i ooo e
i::::::e  i::::::::e i::::::::::e
<F+>

<14>
 2. Leia e responda:
 a) O nmero 70  *mltiplo* de 2 e 35, pois 70=2.35. O nmero 70  primo?
 b) Um dos *divisores* de 75  3. Portanto, 75  igual a 3 vezes algum outro nmero. Sabendo disso, podemos concluir que 75 no  primo. Por qu?
 c) O nmero 77  primo? Por qu?
 d) O nmero 41  primo? Por qu?

 Procure no dicionrio: divisor, mltiplo.

 3. Copie e complete em seu caderno, trocando cada ''' pelo nmero adequado:
 a) 30='''5='''''''''
 b) 44='''11='''2'''
 c) 72=8'''='''3'''2

 4. Veja alguns nmeros escritos na forma de multiplicao de nmeros primos:
 20=22.5
 21=3.7
 36=22.32
  Escreva dessa forma:
 a) 22
 b) 40
 c) 24

 5. Veja todas as maneiras de escrever 12 usando apenas dois fatores: 1.12 ou 2.6 ou 3.4.
 a) Faa o mesmo com os nmeros 18, 19, 30 e 31.
 b) Quais desses nmeros so primos?
 c) O nmero 12 tem seis divisores: 1, 12, 2, 3, 4 e 6. E o nmero 30, quantos divisores tem?
 d) Quantos divisores tm os nmeros 19 e 31?

 6. Veja a sequncia dos mltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24 etc.
 a) Escreva na forma de multiplicao de primos alguns desses mltiplos: 6, 18, 30 e 42.
 b) Quais so os fatores primos comuns a todas essas decomposies?
<p>
 7. Agora, faa a tabela dos nmeros primos menores do que 50 usando um mtodo inventado pelo matemtico grego Eratstenes h mais 
de 2.000 anos. Siga as instrues:

 1) Escreva em seu caderno os nmeros naturais de 1 at 50, como se v na figura.

_`[{figura adaptada_`]
 Em uma folha de caderno est registrado a sequncia:
 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20
 21; 22; 23; 24
 31
 41

 2) Risque o nmero 1, que no  primo.
 3) Risque todos os mltiplos de 2, mas no o 2.
<p>
 4) O nmero seguinte que no est riscado  3. Risque todos os seus mltiplos, exceto ele mesmo.
 5) Siga para o prximo nmero no riscado 5 e risque seus mltiplos, mas no ele mesmo. Continue assim at no haver mais nada para riscar. Os nmeros no riscados so os primos.
<R->

 Ao/Investigao

 Uma investigao matemtica

  Forme dupla com um colega. Faa uma tabela como a do desenho. Para calcular #,c, #,d, #,e etc., use a calculadora.
<p>
 !::::::::::
 l n  _ 1n _
 r::::w::::::w
 l 2 _ 0,5 _
 r::::w::::::w
 l 3 _ '''  _
 r::::w::::::w
 l 4 _ '''  _
 r::::w::::::w
 l 5 _ '''  _
 r::::w::::::w
 l 6 _ '''  _
 r::::w::::::w
 l 7 _ '''  _
 h::::j::::::j

<15>
  Preencha a tabela at n=20. Voc vai notar que alguns desses quocientes so nmeros decimais com um nmero finito de casas decimais e outros so *dzimas peridicas*. (Como o visor da calculadora s mostra 8 dgitos, s vezes no se percebe que os algarismos do quociente vo se repe-
<p>
tir. Mesmo assim,  possvel resolver o problema que ser proposto.)

<R+>
 Procure no dicionrio: dzima 
  peridica.
<R->

  Tendo notado isso, desperte seu esprito cientfico e pense por que algumas divises terminam e outras no. Ou seja, responda a esta intrigante questo:

<R+>
 Que caracterstica deve ter o nmero *n* para que 1n, na forma decimal, tenha um nmero finito de casas decimais?
<R->

 Problemas e exerccios para casa

 Estudo e prazer

  A aula  o momento da aprendizagem em grupo, da troca e do confronto de ideias entre todos. Assim, aprende-se muito.  como explorar extensas paisagens.
  O trabalho em casa  momento diverso: aprofundam-se os conhecimentos.  como examinar cada trecho da paisagem. O ideal  que a tarefa de casa, pouco a pouco, desenvolva em ns uma disciplina de estudo que pode ser fonte de muito prazer: o prazer de conhecer.

<R+>
 8. Na sequncia dos nmeros quadrados h este padro:

_`[{sequncia adaptada_`]

 1 4 9 16 25 ...
 1+3=4
 4+5=9
 9+7=16
 16+9=25

 a) Descubra um padro desse tipo para os cinco primeiros nmeros triangulares.
 b) Use o padro e determine qual  o dcimo nmero triangular.
 c) Nunca se descobriu um padro para a sequncia dos nmeros primos.
<p>
_`[{uma mulher e um homem mostram a sequncia: "2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23". A mulher fala: "Pois ns descobrimos! Olhe s". E o 
homem diz: "A partir do 5, o padro  este: aumenta 2, aumenta 4, aumenta 2, aumenta 4, ..."_`]

   verdade o que eles dizem? Por qu? *Dica*: para responder, consulte a tabela de primos que voc fez no exerccio 7. Se quiser, consulte tambm, no exerccio 16, a continuao da tabela de primos.

 9. Usando letras para representar nmeros, podemos descrever os nmeros quadrados com uma frmula: Qn=n2.
  Combinamos que o valor de *n* pode ser 1, 2, 3 etc. Assim, Q2=22=4 e Q5=52=
  =25. H uma frmula parecida para os nmeros cbicos: Cn=''' Descubra a frmula e depois apresente os seis primeiros nmeros cbicos.

 10. Veja a coincidncia:
  divisores de 6 menores que 6: 1, 2, 3
  soma desses divisores: 1+2+3=6
  Os antigos gregos chamaram nmeros com essa propriedade de *nmeros perfeitos*.
 a) Qual  a propriedade a que estamos nos referindo? Escreva a resposta.
 b) 10  um nmero perfeito? Por qu?
 c) H um nmero perfeito entre 25 e 30. Qual ?

 11. Faa o que se pede.
 a) Efetue 29913.
 b) 299  mltiplo de 13? Por qu?
 c) 299  nmero primo? Por qu?

 12. Explique por que nenhum nmero par, exceto o 2, pode ser primo.
<16>
<p>
 13. Veja todas as maneiras de escrever 56 como produto de dois fatores:
 56=1.56
 56=2.28
 56=4.14
 56=8.7
 a) Faa o mesmo com os nmeros 25, 55 e 61.
 b) Quantos divisores tem cada um desses nmeros?
 c) Qual desses nmeros  primo?

 14. Os mltiplos de 15 so 0, 15, 30, 45, 60 etc.
 a) Escreva na forma de multiplicao de primos cada um desses nmeros: 15, 30, 45 e 60.
 b) Quais so os fatores primos que aparecem nas quatro multiplicaes que voc escreveu?
 c) Observe este nmero:
  A=3.5.7.11.17.23.
  O nmero A  mltiplo de 15?
 d) Pense agora neste nmero:
  B=32.52.23.41.
  Ele  mltiplo de 15?
<R->

 Decomposio em fatores primos

  Como vimos, os nmeros primos so importantes, porque geram os demais por meio da multiplicao. Ou seja, eles formam os demais, que so compostos por eles. Por isso, decompor um nmero natural em fatores primos significa escrev-lo na forma de multiplicao de primos. Se o nmero natural no  0, nem 1 e nem primo, sempre  possvel decomp-lo em fatores primos.
  Para isso, h um processo prtico. Como exemplo, vamos decompor 140 em fatores primos. Acompanhe passo a passo:

 1) Escreva assim.

<F->
140 _
<F+>

<R+>
 2) Divida pelo primeiro nmero primo.
<R->

<F->
140 _ 2
70  _
<F+>
<p>
<R+>
 3) Continue dividindo por 2 enquanto for possvel.
<R->
 
<F->
140 _ 2
70  _ 2
35  _
<F+>

<R+>
 4) Agora, tente dividir por 3. No d. Tente por 5.
<R->

<F->
140 _ 2
70  _ 2
35  _ 5
7   _
<F+>

 5) Agora por 7.

<F->
140 _ 2
70  _ 2
35  _ 5
7   _ 7
1   _
<F+>
<p>
 6) Pronto!

<F->
140 _ 2
70  _ 2
35  _ 5
7   _ 7
1   _
<F+>

 140=2257

<17>
  No processo prtico de fatorao em primos, costuma-se dividir o nmero dado pelos primos em ordem crescente (por 2, depois por 3, por 5, por 7 etc). No entanto, essa ordem no  obrigatria. Por exemplo,  possvel dividir por 2, depois por 5, depois dividir por 3. Isso no mudar a decomposio, que ser sempre a mesma. Afinal, a ordem dos fatores no importa numa multiplicao.
  Nessas decomposies, as regras de divisibilidade podem ser teis. Lembra-se delas?
<p>
<R+>
 Um nmero  divisvel por:
  2, quando  par.
  3, quando a soma de seus algarismos  divisvel por 3.
  5, quando termina em 0 ou 5.
<R->
  Voc aprendeu a decompor um nmero em fatores primos. No prximo item, veremos uma aplicao disso em Matemtica.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) O que significa decompor um nmero em fatores primos?
 b) Fazendo clculo mental, decomponha 81 em fatores primos. Depois faa o mesmo com os nmeros 10, 20, 24 e 30.
 c) Como seria a decomposio em fatores primos do nmero 13? E a do 17?
 d) Todo nmero natural pode ser decomposto em fatores primos?
<p>
 Problemas e exerccios

 15. Decomponha os nmeros a seguir em fatores primos, usando o processo prtico:
 a) 84 
 b) 130 
 c) 250
 d) 693

 16. Observe a tabela com os nmeros primos entre 50 e 150.

 53  _ 59  _ 61  _ 67
 71  _ 73  _ 79  _ 83
 89  _ 97  _ 101 _ 103
 107 _ 109 _ 113 _ 127
 131 _ 137 _ 139 _ 149 _

  Use a tabela e decomponha em fatores primos:
 a) 106
 b) 695
 c) 732
 d) 1.313
<p>
 17. A decomposio em fatores primos de 1.001  7.11.13.
 a) Sem fazer contas, escreva a decomposio em fatores primos de 2.002, 3.003, 4.004 e 5.005.
 b) Apresente todos os divisores de 1.001. *Dica*: esses divisores, exceto o 1, tm de ser formados pelos primos 7, 11 e 13. 

<18>
 18. Ser que 221  um nmero primo?

_`[{em uma sala de aula o aluno fala com a professora: "Ih! Tenho de tentar dividir 221 por 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8...". A professora 
responde: "No  preciso tanto. Basta dividir pelos nmeros primos: 2, 3, 5, 7 etc"_`]

  Use a sugesto da professora e descubra se 221  um nmero primo.

 19. At o ano de 2008, o maior nmero primo conhecido era o resultado deste clculo: 243.112.609-1.
  Podemos ter certeza de que o triplo deste nmero primo no  nmero primo. Explique o porqu.

 Problemas e exerccios para casa

 20. Que algarismo deve ser escrito no lugar de ''' para que:
 a) 2 e 5 sejam fatores primos de 6'dc'''? *Dica*: se 2 e 5 so fatores desse nmero, ele  divisvel por 2 e por 5.
 b) 3 e 5 sejam fatores primos de 7'gg'''?
 c) 7'gg''' seja divisvel por 15? *Pense nisto*: para ser divisvel por 15, que fatores primos o nmero deve ter?

 21. Duas pessoas no podem ser irms gmeas e tambm ser primas. Mas dois nmeros podem. Os antigos gregos diziam que primos gmeos eram nmeros primos que tinham diferena 2, como 3 e 5. Consulte as tabelas de nmeros primos e responda:
 a) Quais so os primos gmeos menores que 50?
 b) Quais so os primos gmeos entre 100 e 150?

 22. A decomposio em fatores primos do nmero A  24.52.
 a) Escreva o nmero A na forma habitual.
 b) O nmero 23.5  divisor de A? *Dica*: no  necessrio fazer conta alguma para responder.
 c) O nmero 25  divisor de A?

 23. Decomponha em fatores primos pelo processo prtico:
 a) 144 
 b) 192 
 c) 147
 d) 400

 24. Veja as decomposies dos nmeros A, B, C e D:
 A=32.54.11.13 
 B=32.54.11 
 C=32.55
 D=3.5.11
 a) O nmero A  mltiplo de B? Explique sua resposta.
 b) A  mltiplo de C?
 c) A  mltiplo de D?
 d) O nmero C  mltiplo de D?

 25. Verifique se estes nmeros so primos:
 a) 161
 b) 173

 26. Copie em seu caderno somente as sentenas verdadeiras.
 a) Todo nmero primo tem apenas dois divisores diferentes: 1 e o prprio nmero.
 b) Um mltiplo de um nmero primo nunca  primo.
 c) Nmeros com mais de dois divisores diferentes no so primos.
 d) O nmero 1  primo.
 e) Alguns mltiplos de 15 so nmeros primos.
 f) O algarismo das unidades de um nmero primo nunca  zero.
<R->

<19>
 Clculo do mmc

  J tratamos dos nmeros primos e da decomposio de nmeros naturais em fatores primos. Essa decomposio vai ser usada para calcular de maneira rpida o mnimo mltiplo comum de dois ou mais nmeros. E esse clculo rpido vai ser usado no prximo captulo para facilitar a adio e a subtrao de fraes.
  Vamos abreviar a expresso *mnimo mltiplo comum* usando a sigla *mmc*. Voc j aprendeu a calcular o mmc de dois nmeros. Recorde:

<R+>
_`[{em uma sala de aula a professora aponta para o quadro-de-giz e fala com os alunos: "O mmc de 6 e 10  o menor nmero, fora o zero, que  mltiplo de 6 e 10". No quadro est registrado: "mmc(6; 10)='''; 
Mltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36...; Mltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, 40...; mmc(6; 10)=30". O nmero 30 nas duas sequncias est circulado_`]
<R->

  O processo de clculo do mmc que se v no quadro-de-giz  trabalhoso, se for usado para nmeros grandes. Por isso, foi inventado um processo prtico. O exemplo a seguir mostra o clculo de mmc6; 10 por esse mtodo prtico. Faz-se a decomposio simultnea de 6 e 10 em fatores primos. Acompanhe, passo a passo:

6, 10 _

<F->
6, 10 _ 2
3, 5  _ 
<p>
6, 10 _ 2
3, 5  _ 3
1, 5  _

6, 10 _ 2
3, 5  _ 3
1, 5  _ 5
1, 1  _
<F+> 

  Ento, conclumos que mmc(6; 10)=2.3.5=30.
  Agora, interrompa a leitura e calcule o mmc(12; 14) pelo processo prtico. O resultado tem de ser 84.
  Uma coisa  saber usar o processo prtico. Outra  saber por que ele funciona. As duas coisas so importantes no aprendizado da Matemtica. Entender por que o processo prtico funciona desenvolve seu raciocnio matemtico. Veja as explicaes:

<R+>
_`[{a professora, observando no quadro-de-giz o registro mmc(6; 10)=23''', diz: "O mmc(6; 10) tem de ser mltiplo de 6. Por isso, ele 
tem os fatores primos 2 e 3. Esse mmc tem de ser tambm mltiplo de 10. Por isso, deve ter os fatores 2 e 5. J pusemos o 2. Falta o 5". 
O aluno pergunta: "Mas o que isso tem que ver com o processo prtico?". A professora responde: "O processo faz aparecer todos os 
fatores primos 2, 3 e 5 sem repetir os fatores comuns (no caso, o 2)"_`]
<R->

<20>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Calcule o mmc30; 40 pelo processo prtico. Depois, algum ir ao quadro-de-giz explicar como fez.
 b) Voc entendeu a justificativa do processo prtico que a professora deu no final do texto? Explique com suas palavras a mesma coisa que ela explicou.
 c) Imagine que *p, q* e *r* so nmeros primos. Considere os nmeros A=p2.q e B=p.q2.r. Qual  o mmc de A e B?
 d) Neste captulo, foram usados muitos termos matemticos cujo significado deve ser bem compreendido. Explique o significado de: fator, nmero primo, decomposio em fatores, mltiplo, mltiplo comum, mmc, divisor, divisvel, processo prtico.

 Problemas e exerccios

 27. Veja o exemplo:

<F->
77, 132 _ 2
77, 66  _ 2
77, 33  _ 3
77, 11  _ 7
11, 11  _ 11
1,  1   _
<F+>

  mmc77; 132=22.3.7.11=
  =924
<p>
  Calcule em seu caderno:
 a) mmc35; 45
 b) mmc132; 165

 28. Veja a decomposio em fatores primos de dois nmeros bem grandes:
 A=7.13.975
 B=3.59.83.#abg3
  Escreva a decomposio em fatores primos do mmc de A e B.

 29. Veja o exemplo:

<F->
6, 10, 15 _ 2
3, 5,  15 _ 3
1, 5,  5  _ 5
1, 1,  1  _
<F+>

  mmc6; 10; 15=2.3.5=30
  Calcule em seu caderno:
 a) mmc20; 30; 40
 b) mmc45; 60; 75

 30. Num grande prmio de Frmula 1, um piloto brasileiro completava uma volta na pista a cada 84 segundos. Mas um piloto alemo, com um carro mais rpido, dava uma volta a cada 66 segundos. Como eles largaram juntos, quanto tempo depois eles passaram juntos novamente pelo ponto de partida? Nesse momento, quantas voltas cada um completou?
<R->

<21>
 Ao

 Quatro em linha

  Voc vai usar as cartelas do Quatro em linha.
  Forme dupla com um colega.
  Na sua vez, escolha um nmero da cartela A e outro da cartela B. Calcule o mmc dos nmeros escolhidos, procure o resultado na cartela C e nela ponha sua marca.
  Ganha o primeiro que alinhar quatro marcas na horizontal, vertical ou diagonal.
  Detalhes das regras sero combinados entre os dois jogadores.
  Em cada jogada, registre os clculos no caderno. Por exemplo, se voc escolheu 6 na cartela A e 30 na outra, escreva: mmc6; 30=30.

<R+>
 Problemas e exerccios para casa

 31. Copie e complete a tabela em seu caderno:

 !:::::::::::::::::::::::::
 l A _ B  _ mmcA; B    _
 r::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 2 _ 3  _ '''            _
 r::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 5 _ 7  _ '''            _
 r::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 7 _ 11 _ '''            _
 r::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 5 _ 13 _ '''            _
 h::::j:::::j::::::::::::::::j

  Responda: se A e B so nmeros primos, o que se pode concluir sobre o mmcA; B?
<p>
 32. Copie e complete a tabela em seu caderno:

 !::::::::::::::::::::::::::
 l A  _ B  _ mmcA; B    _
 r:::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 4  _ 5  _ '''            _
 r:::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 6  _ 7  _ '''            _
 r:::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 9  _ 10 _ '''            _
 r:::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 14 _ 15 _ '''            _
 h:::::j:::::j::::::::::::::::j

  Responda: se A e B so nmeros consecutivos, o que se pode dizer sobre o mmcA; B?

 33. Copie e complete a tabela em seu caderno:
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::
 l A  _ B  _ mmcA; B    _
 r:::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 4  _ 8  _ '''            _
 r:::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 6  _ 18 _ '''            _
 r:::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 15 _ 45 _ '''            _
 r:::::w:::::w::::::::::::::::w
 l 42 _ 84 _ '''            _
 h:::::j:::::j::::::::::::::::j

  Responda: se um nmero B  mltiplo de A, o que se pode concluir sobre o mmcA; B?

 34. Calcule em seu caderno:
 a) mmc28; 35
 b) mmc32; 64
 c) mmc17; 19
 d) mmc20; 25; 30
 e) mmc40; 50; 60

 35. Joo  piloto de avio. Ele faz a rota So Paulo-Manaus a cada 15 dias. Paulo  comissrio de bordo da mesma companhia. Ele trabalha no voo So Paulo-Manaus a cada 12 dias. Joo e Paulo estavam no mesmo voo So Paulo-Manaus no dia 1 de maio. Em que dia de junho eles se reencontraro a bordo?
 36. Numa demonstrao de aerbica, os participantes foram distribudos em vrios quadrados, com 36 pessoas em cada um. Depois, eles saram em grupos de 20. Quantos atletas participaram da demonstrao?

<22>
 37. Leia:

 _`[{histria em quadrinhos: Uma professora conversa com uma aluna, e diz: "Nmeros primos so os que tm apenas dois divisores 
diferentes". A aluna fala: "Eu inventei outro tipo de nmero". A professora pergunta: "Qual?". A aluna responde: "Os primos em 
segundo grau!". A professora fala: "Estou interessada. Explique". E a aluna explica: "So os que tm apenas trs divisores diferentes"_`]

 a) Entre 1 e 10 existem dois *nmeros primos em segundo grau*. Quais so?
 b) O prximo primo em segundo grau est entre 20 e 30. E o seguinte est entre 45 e 50. Quais so eles?
 c) H uma relao entre os nmeros primos, os nmeros quadrados e os nmeros primos em segundo grau. Descubra essa relao e explique-a.
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  identificar padres numricos;
  identificar nmeros primos;
  decompor nmeros naturais em fatores primos;
  calcular mmc usando decomposio em fatores primos.
<R->

 Um toque a mais

 Curiosidades sobre os nmeros
  primos

  Desde que antigos sbios gregos perceberam a existncia dos primos, esses nmeros vm fascinando os matemticos, que at hoje se dedicam a pesquis-los. Por que os nmeros primos tm tanto prestgio?

 Eles so como os tomos!

  Voc j sabe: os primos formam, pela multiplicao, os demais nmeros naturais, com exceo de 0 e 1. Podemos, ento, imagin-los como os tomos que formam toda a matria existente. Qualquer ser mineral, vegetal ou animal  formado por tomos, inclusive nossos corpos. As substncias so formadas por tomos. Por exemplo, o cido sulfrico, que se representa por H;{s{o  formado por 2 tomos de hidrognio H, 1 de enxofre S e 4 de oxignio O.
  De forma similar, qualquer nmero natural composto  formado pela multiplicao de primos.

<23>
 Eles levam a descobertas!

  O fato de os primos formarem os demais nmeros leva  descoberta de inmeras propriedades dos nmeros. Eis uma bem simples: se um nmero D  divisor de um nmero A, os fatores primos de D tambm so fatores primos de A. Por exemplo: a partir dos fatores primos de 150, por composies, podemos obter todos os divisores de 150 com exceo de 1. A figura seguinte ajuda a entender a ideia.

<R+>
 _`[{figura descrita por sua legenda_`]
 Legenda: O esquema mostra o nmero 150, sua decomposio em fatores primos e todos os seus divisores, com exceo de 1.

  Desafio! Use essa ideia e encontre todos os divisores de 315.
<R->
  Vejamos outra propriedade relacionada aos fatores primos de um nmero. Por simples contagem, podemos saber quantos divisores tem um nmero. Por exemplo, o nmero 12 tem seis divisores, que so 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Porm, se quisssemos saber quantos so os divisores de 700, a contagem daria muito trabalho, no ? Nesse caso, os primos ajudam. Para saber quantos divisores tem 700, faa o seguinte:
<R+>
 1) decomponha 700 em fatores primos 700=22.52.7;
 2) adicione 1 a cada expoente obtido na fatorao 2+1=3; 2+1=3; 1+1=2;
 3) multiplique essas somas 3.3.2=18.
<R->
  Pronto: o nmero 700 tem 18 divisores.
  Esse procedimento funciona sempre. E por que funciona? Bem, desta vez vamos ficar lhe devendo.  que a explicao desse fato  um tanto complicada. Mesmo assim, voc pode usar a ideia.
<R+>
  Desafio! Informe quantos so os divisores de 800.
<R->

 Eles so indomveis!

  Veja a sequncia dos nmeros quadrados: 1, 4, 9, 16, ... Nessa sequncia h muitos padres que nos permitem achar o prximo termo. Veja um exemplo:

_`[{sequncia adaptada_`]
 1 4 9 16
 1+3=4
 4+5=9
 9+7=16

  Percebendo, nos aumentos, a sequncia dos mpares, esperamos que o aumento seguinte seja 9. Realmente, 16+9 d 25, que  o nmero quadrado seguinte.
  No caso da sequncia dos primos, at hoje no se descobriu um padro que nos permita saber o prximo nmero primo. Isso d a sensao de que a sequncia dos primos no obedece a regras; os primos parecem ser indomveis. Talvez, por isso, atraiam tanto a ateno dos matemticos.

<24>
 Procurando nmeros primos

  H cerca de 300 anos, o monge, msico e matemtico francs Marin Mersenne *conjecturou* que os nmeros da forma 2p-1 seriam primos, desde que *p* fosse primo tambm. Ele havia verificado que, substituindo *p* por 2 ou 3 ou 5 ou 7, o resultado  primo. Por exemplo: 27-1=127, que  primo.

<R+>
 Procure no dicionrio: conjectura.
<R->

  Mas a frmula no d certo para *p* igual a 11: 211-1=2.047, cuja fatorao  23.89.
  Por outro lado, a frmula d certo para *p* igual a 13 ou 17 ou 19, como o prprio Mersenne descobriu. Isso levou muita gente a pesquisar nmeros primos que obedecessem  frmula do monge francs e essa procura continua ainda hoje.
  Quando surgiu a internet, centenas de pessoas se associaram em um projeto cooperativo para pesquisar primos de Mersenne. At 2008, 
o maior nmero primo descoberto pelo grupo (1) era 243.112.609-1.

 Problemas com nmeros primos

  H matemticos que adoram resolver problemas envolvendo nmeros primos. Um dos mais famosos
::::::::::::::::::::::::::::::::::
<F->
<R+>
    (1) GIMPS -- *Great 
  Internet Mersenne Prime Search*. ~,http:www.~
  mersenne.org~, Acesso: 31/3/2009.
<R->
<F+>
<p>
desses problemas  chamado de conjectura de Goldbach e no foi resolvido at hoje. Em 1742, esse senhor observou que todo nmero par maior que 2  a soma de dois nmeros primos. Por exemplo, 4=2+2; 20=3+17 ou 7+13 etc.
  Usando computadores j se verificou que a hiptese  verdadeira at mesmo para nmeros maiores que 1.000.000. Acontece, porm, que h infinitos nmeros pares. Como se poderia provar que o fato  verdadeiro para todos eles?
  s vezes,  fcil provar que um fato  verdadeiro para infinitos nmeros. Por exemplo, h infinitos nmeros primos e podemos provar que todos eles, com exceo de 2, so mpares. Eis a prova: *se algum nmero primo (exceto 2) fosse par, ele seria divisvel por 2; mas, nesse caso, no poderia ser primo, porque os primos so divisveis apenas por 1 e por si mesmos*.
  No entanto, provar a conjectura de Goldbach deve ser muito mais difcil. Pelo menos at hoje, ningum conseguiu. Quem sabe voc, no futuro, tenha sucesso e consiga. Para esquentar os motores, faa a prxima atividade.

<R+>
  Mostre que a conjectura de Goldbach  verdadeira para nmeros pares maiores que 4 e menores que 20.
<R->

 Para que quebrar a cabea com os 
  nmeros primos?

  Muitos dos fatos que se descobrem sobre os primos no tm aplicao prtica. Provavelmente, no adianta nada saber se um nmero gigantesco  primo ou no. Se algum resolver o problema de Goldbach, a vida das pessoas no vai mudar coisa alguma. Sendo assim, por que tantos matemticos vm quebrando a cabea para estudar os primos?
<p>
  H pessoas que resolvem atravessar o oceano em um barco a remo ou ir de So Paulo a Nova York andando de bicicleta, tudo isso sem ganhar dinheiro. Certamente elas ganham algo diferente, mais valioso que dinheiro e que as faz felizes. Da mesma forma devem se sentir os matemticos que pesquisam os nmeros primos. Eles tambm gostam de enfrentar desafios.

               oooooooooooo

<25>
<p>
 Captulo 2

 Operaes com fraes

 Revendo as fraes

  As fraes so usadas em situaes diversas. Um dos usos mais comuns  para indicar a relao entre uma parte e um total. Por exemplo, quando se diz que #,c dos eleitores ainda no sabe em quem votar, estamos nos referindo a uma parte do total de eleitores.
  As fraes tambm representam nmeros, pois expressam medidas e indicam o resultado da diviso de dois nmeros inteiros. Por exemplo:
<R+>
  o dimetro de uma tubulao pode ser #:d de polegada;
  o resultado da diviso 3-2 pode ser indicado por -#:b.
<R->
  A sequncia dos nmeros inteiros voc conhece: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Todo nmero inteiro pode ser considerado um tipo especial de frao, cujo denominador  1. Por exemplo: -2=-#;a. Em Matemtica, os nmeros representados pelas fraes (inclusive os nmeros inteiros) so conhecidos como *nmeros racionais*.
  Neste captulo, voc aprender algo mais sobre as fraes. De incio, recorde o assunto resolvendo os exerccios. Alguns contm exemplos que ajudam na resoluo.

<R+>
 Procure no dicionrio: nmeros racionais.

 Conversando sobre o texto

 a) Elabore uma frase da qual faa parte alguma frao.
 b) Fraes podem indicar partes de um todo. D um exemplo.
 c) As meninas de sua turma correspondem a que frao da turma toda?
 d) A frao #?c tambm indica parte de um todo?
 e) Como se escreve a frao #?c na forma de nmero misto?
 f) D um exemplo em que uma frao  usada para expressar uma medida.
 g) O resultado da diviso 45 pode ser representado por uma frao. Explique essa ideia. Que frao  essa?
 h) Todo nmero inteiro  tambm um nmero racional. Explique essa afirmao.
 i) Todo nmero racional  tambm um nmero inteiro?

<26>
 Exerccios

 1. Copie em seu caderno, trocando ''' pelo nmero correto:
 a) ''' dias correspondem a #;g da semana.
 b) ''' dias correspondem a #,c do ms.
 c) ''' horas correspondem a #;c do dia.
<p>
 d) ''' minutos correspondem a #,d de hora.
 e) ''' anos correspondem a #:d de sculo.

 2. Em quais desenhos a parte colorida corresponde a #,c da figura?

_`[{figuras adaptadas. O smbolo ** representa as partes coloridas nas figuras_`]

a)
<F->
pccccccclccclccc
ll   l   _ 
v-------l---l---#

b)
pccclccclccclccclccclccc
llll   l   l   _   
v---l---l---l---l---l---#

c)
pccclccclccc
l   l   l_   
v---l---l---#

d)
pccclccclccclccc
ll   l   l   _   
v---l---l---l---#
l   ll   l_   
v---l---l---l---#
l   l   ll   _   
v---l---l---l---#

e)
pccclccclccclccclccclccclccclccc
ll   l   l   ll   l   l   _   
v---l---l---l---l---l---l---l---#
l   l   l   ll   l   l   l_   
v---l---l---l---l---l---l---l---#
l   l   ll   l   l   ll   _   
v---l---l---l---l---l---l---l---#
<F+>

 3. Mariana partiu o chocolate em duas partes iguais e comeu #,b do total. Paulo partiu-o em 4 partes iguais e comeu 2 partes. O av das crianas partiu o chocolate em 8 partes iguais e comeu 4.
<p>
_`[{figuras adaptadas. O ** representa a parte do chocolate que foi comida por cada pessoa_`]

Mariana: 

<F->
pcccccccpcccccccc
l       l_ 
l       l_ 
v-------v--------#
<F+>

Paulo:

<F->
pcccpcccpcccpccc
lll   l   _ 
lll   l   _ 
v---v---v---v---#
<F+>

 Av:

<F->
pcccpcccpcccpccc
l   l   l   l   _ 
r:::l:::l:::l:::_
llll_ 
v---v---v---v---#
<F+>
<p>
 a) De acordo com a figura, que frao do chocolate Paulo comeu?
 b) Os trs chocolates so iguais. Algum comeu mais que os outros?

 4. As trs fraes citadas no exerccio anterior indicam uma mesma quantidade. Por isso, dizemos que so fraes equivalentes, pois representam nmeros iguais. Observe que, multiplicando os termos da frao #,b por um mesmo nmero (nesse caso, por 2 e, depois, por 4), obtemos cada uma das outras duas. Isso sempre acontece em fraes equivalentes.
  Escreva outras trs fraes equivalentes a #,b.
 5. O garom dividiu igualmente uma *pizza* entre trs fregueses: cada um comeu #,c da *pizza*.
  Conclui-se que 13=#,c.
<27>
  Na mesa ao lado, quatro pessoas pediram 3 *pizzas* de mesmo tamanho e as dividiram igualmente. Que frao de *pizza* cada pessoa recebeu? Faa o desenho e indique a operao matemtica efetuada.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 6. Veja as divises:

<F->
32=1
resto: 1
Diviso com quociente inteiro.

32=1,5
resto: 0
Diviso com quociente inteiro.
<F+>

  Na primeira diviso, imaginando o resto 1 dividido por 2, podemos concluir que #:b=1#,b. A segunda diviso mostra que #:b=1,5. Com base nesses exemplos, copie e complete a tabela em seu caderno:

_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Diviso
 2 coluna: Resultado (frao)
 3 coluna: Resultado (n.o misto)
 4 coluna: Resultado (decimal)

 :::::::::::::::::::::::::::::
 1   _ 2 _ 3   _ 4       
 ::::::w:::::w:::::::w:::::::::::
 73 _ #=c _ '''   _ 2,333...
 ::::::w:::::w:::::::w:::::::::::
 52 _ ''' _ 2#,b _ '''       
 ::::::w:::::w:::::::w:::::::::::
 94 _ ''' _ '''   _ '''       
 ::::::j:::::j:::::::j:::::::::::

 7. Nesta rgua _`[no adaptada_`], a unidade de medida  a polegada.
  Copie e complete a tabela em seu caderno:

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Segmento
 2 coluna: Medidas em polegadas
<p>
 !:::::::::::::
 l 1  _ 2   _
 r::::::w:::::::w
 l {a{b _ '''   _
 r::::::w:::::::w
 l {b{c _ 1#,d _
 r::::::w:::::::w
 l {a{c _ '''   _
 h::::::j:::::::j

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Exerccios para casa

 8. Uma loja de artigos esportivos est fazendo promoo de tnis. A loja abre s 9 horas com um certo estoque de tnis em promoo. Veja a evoluo do estoque durante um dia de funcionamento:

_`[{quatro figuras adaptadas_`]
 9 horas: 18 caixas
 11 horas: 16 caixas
 18 horas: 13 caixas
 22 horas: 2 caixas

  Diga que frao do estoque inicial havia sido vendida s:
 a) 11 horas
 b) 18 horas
 c) 22 horas

<28>
 9. O exemplo a seguir mostra um recurso til para a simplificao de fraes:
 915=35
 93=3
 153=5
  Simplifique as fraes:
 a) #,;ah
 b) #,ah
 c) #,?bj
 d) #:!cj

 10. Copie e complete a tabela em seu caderno escrevendo as fraes na forma mais simples.
  *Dica*: 50% so 50 partes em 100 ou #?}ajj.
  Aps simplificar a frao, voc escrever #,b.
<p>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Frao
 2 coluna: Porcentagem correspondente

 !:::::::::::::
 l 1 _ 2    _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 1%   _
 r:::::w::::::::w
 l #,e _ '''    _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 25%  _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 50%  _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 75%  _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 100% _
 r:::::w::::::::w
 l ''' _ 113% _
 r:::::w::::::::w
 l #?d _ '''    _
 h:::::j::::::::j
<p>
 11. Qual das trs fraes  maior: #,c, #;e ou #;g?

_`[{um professor mostra no quadro-de-giz a operao: "13=0,33..., resto 1", e diz: "Sugesto: escreva na forma decimal. 
As reticncias indicam que o 3 se repete sempre, sempre, sempre..."_`]

 12. a) Examine a reta numerada _`[no adaptada_`].
  Cada marca entre dois nmeros inteiros corresponde a uma frao. Escreva em seu caderno as fraes (ou nmeros mistos) correspondentes aos pontos A, B e C, sabendo que cada um deles  ponto mdio do pequeno segmento onde est situado.
 b) Examine agora esta reta numerada _`[no adaptada_`], em que aparecem tambm fraes negativas. Escreva as fraes (ou 
<p>
  nmeros mistos) correspondentes aos pontos D, E e F.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 13. O tablete estava dividido em 30 pedacinhos iguais:

_`[{figura adaptada: Tablete dividido em 30 pedacinhos. Jerry comeu 5 pedacinhos e Mickey comeu 3_`]

 a) Qual dos camundongos comeu #,f do tablete: Mickey ou Jerry? E quem comeu #,aj?
 b) No total, que frao do tablete os dois comeram?
 c) Usando a resposta anterior, quanto  #,f+#,aj?

 14. Efetue os clculos a seguir. *Dica*: a figura anterior pode ajudar a achar as somas.
<p>
 a) #:aj+#,f
 b) #:aj-#,f
 c) #,f-#:aj
<R->

<29>
 Adio e subtrao

  Em certas situaes, pode ser necessrio efetuar operaes com fraes. Por exemplo, pode ser preciso adicionar duas medidas expressas em fraes. Por isso, vamos retomar o estudo das operaes com fraes.
  Quando os denominadores so iguais, somar ou subtrair fraes  bastante bvio. Por exemplo, 3 stimos mais 2 stimos s pode resultar em 5 stimos. Ou seja: #:g+#;g=#?g.
  Entretanto, d mais trabalho achar o resultado nos casos em que h denominadores diferentes.
  Veja qual  o problema:

#,b
 !:::::::::::::::::::
 l_         _
 h::::::::::::::::::::j
<p>
#,c
 !::::::::::::::::::
 l_      _      _
 h::::::j::::::j::::::j

#,b+#,c='''

  A figura no permite encontrar o resultado. No sabemos se vamos obter meios, ou teros ou alguma frao com outro denominador. O que fazer, ento?
  A soluo  transformar essas fraes, obtendo fraes equivalentes e que tenham um mesmo denominador. Veja:
<R+>
  #,b=#;d=#:f=#h=#?aj=#!ab=...
  #,c=#;f=#:i=#ab=#?ae=...
<R->
  Agora, calculamos: #,b+#,c=
 =#:f+#;f=#?f
  No caso de #,b e #,c o menor denominador comum  6, que  tambm o mnimo mltiplo comum de 2 e 3. Pois , calcular o mmc  a maneira mais rpida de encontrar o denominador comum. Podemos, ento, usar o que aprendemos sobre mmc, que, por sua vez,  um uso do que havamos aprendido sobre nmeros primos.
  Vamos somar ou subtrair fraes de maneira rpida, usando um *processo prtico*. Veja a seguir como ele funciona:
 #?ab+#:h=#,}bd+#*bd=#,*bd

<F->
12, 8 _ 2
6,  4 _ 2
3,  2 _ 2
3,  1 _ 3
1,  1 _ 

mmc(12; 8)=24

#?ab=#,}bd
#:h=#*bd
<F+>

<30>
  O processo prtico tem trs etapas: 1 clculo do mmc, 2 obteno de fraes equivalentes s dadas e 3 adio (ou subtrao).
<p>
  Quando usamos o processo prtico, alguns clculos podem ser feitos mentalmente e no  preciso registrar tudo. Veja:
#ae-#=ab=#,!fj-#:?fj=-#,*fj

<F->
15, 12 _ 2
15,  6 _ 2
15,  3 _ 3
5,   1 _ 5
1,   1 _

2.2.3.5=60
mmc(15; 12)=60
<F+>

  Note que, nesse exemplo, o resultado  uma frao negativa.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Como se somam fraes que tm denominadores iguais? D um exemplo.
 b) A soma de duas fraes que tm denominadores iguais pode 
<p>
  ser generalizada com o uso da linguagem algbrica. Tente fazer isso.
 c) Como se somam fraes quando os denominadores so diferentes?
 d) Invente uma adio ou subtrao com fraes e explique como faz-la usando o processo prtico.
 e) Para somar ou subtrair fraes,  obrigatrio usar o mnimo mltiplo comum dos denominadores ou qualquer mltiplo comum serve? Por exemplo, na soma #,d+#,f podemos usar o denominador comum 24 em vez de 12, que  o mmc? Experimente e d sua concluso.
 f) Qual a vantagem de usar o mnimo mltiplo comum?
 g) Como vamos operar com fraes positivas ou negativas, convm recordar clculos com nmeros positivos ou negativos. Efetue mentalmente:
 13+-8
 -9-7
 16-19
 -4--17
 16--19
 5-9+5-6
 12-12+7+9
 7--7-15

<31>
 Problemas e exerccios

 15. Efetue em seu caderno, simplificando o resultado sempre que possvel:
 a) #?cf+#=bd
 b) #?cf-#=bd
 c) #,bj+#,cj+#,dj
 d) #,bj-#,cj-#,dj

 16. Os recipientes A e B so iguais. Cada um est dividido em partes iguais. No final, que frao do recipiente A ficou ocupada? Para responder, verifique a quantidade de lquido em A no incio, de B no final e efetue uma operao com fraes.
<p>
_`[{trs figuras adaptadas_`]
 1 figura: Recipiente A est dividido em 5 partes e o B est dividido em 8 partes. O lquido ocupa 3 partes do recipiente A.
 2 figura: Parte do lquido do recipiente A  colocado no B.
 3 figura: O recipiente A fica com uma parte ocupada e o B com 3.

 17. Na Roma antiga, h 2.000 anos, as fraes mais usadas eram as que podiam ser escritas na forma A12, em que A representa um nmero natural. Por exemplo, usava-se #,b porque #,b=#!ab.
 a) Quais dessas fraes estavam entre as mais usadas na Roma antiga: #,c, #,d, #,e, #,f, #,g ou #,h?
 b) Usando s fraes do tipo A12, podemos calcular mentalmente. Veja:
<p>
_`[{uma menina diz: "#,c mais #,ab? Bem, #,c  igual a #ab. #ab mais #,ab so #?ab. Ento, #,c+#,ab=#?ab"_`]

  Agora, efetue mentalmente:
  #,f+#,ab
  #,d+#,ab
  #:d-#,ab
  #;c-#?ab

<32>
 18. Acompanhe:
 2#:d=2+#:d=#d+#:d=#,,d
  Escreva na forma de frao:
 a) 5#;c
 b) -7#:e
 c) 4#;e
 d) 8#:aa
  *Dica*: -7#:e=-7+#:e
<p>
 19. Observe a pilha.

<F->
         !:::::
         l ''' _
      !::h::::j:::
      l ''' _ '''  _
   !::h::::j:::::j::
   l  x  _ -#,d _ ''' _
!::h::::j:::::j::::j:::
l #,b _ -#,h _ ''' _ -#,d _
h:::::j::::::j:::::j::::::j
<F+>

  Voc j sabe a regra. Cada nmero  a soma dos que esto nos dois cubos imediatamente abaixo. Assim, para obter *x*, basta calcular #,b+-#,h. Descubra os nmeros de todos os tijolinhos.

 Problemas e exerccios para casa

 20. Para facilitar os clculos com fraes,  bom dominar clculos com nmeros inteiros. Exercite:
 a) -13+7--5
 b) -5-6-7+8
 c) -13-12-22+4
 d) 14+7--5+8

 21. Efetue em seu caderno, simplificando o resultado:
 a) #,gb+#,fj
 b) #,gb-#,fj
 c) #=gb-#?fj
 d) #,,de-#,cf+#,ab

 22. Efetue:
 a) #*cb-#,af+#?fd
 b) #:h-#,d-#?f

 23. Um suco ocupava #:d de um copo-medida. Transferi parte do suco para outro copo, igual ao primeiro, at ocupar #,e de sua capacidade. Que frao do copo-medida ficou ocupada?

 24. Lembre-se das operaes inversas e responda:
 a) Qual  a frao que somada com #,c resulta em #,g?
 b) Qual  a frao que subtrada de #,g resulta em #,h?

 25. Leia o testamento do bondoso velhinho:

_`[{um velhinho sentado na cama, escrevendo seu testamento, pensa: "Deixo #,b de minha fortuna para os meninos de rua. Deixo #,c para 
a luta contra a Aids. Deixo #,i (e s isso!) para meus sobrinhos imprestveis que no trabalham"_`]

<33>
  O bondoso velhinho dividiu completamente sua fortuna? Se lhe restou uma parte, quanto  essa parte?

 26. Aurlio tem duas secretrias, Cludia e Vilma, e um trabalho que precisa ser digitado. Sozinha, Cludia pode faz-lo em 3 h; Vilma, sozinha, levaria 6 h.
 a) Que frao do servio cada uma faria em 1 h?
 b) Trabalhando juntas, que frao as duas fariam em 1 h?
<p>
 c) Trabalhando juntas, em quanto tempo elas fariam tudo?

 27. Copie e complete a tabela em seu caderno. Tente fazer os clculos mentalmente.

 !:::::::::::::::::::::
 l Forma  _ Forma de  _
 l   mista _   frao   _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l 1#,b   _ '''        _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l 1#,c   _ #c        _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l 1#,d   _ '''        _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l 1#,e   _ '''        _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l 1#,f   _ '''        _
 h:::::::::j::::::::::::j
<R->

 Multiplicao

  Quando voc adquire algum produto, para saber o valor a pagar, voc multiplica a quantidade comprada pelo preo unitrio. Por exemplo, 3 quilos de carne a R$12,00 o quilo custam 3R$12,00, ou seja, R$36,00.
  Que clculo voc faria se comprasse uma quantidade fracionria? Por exemplo, quanto custariam #:d de quilo dessa carne? Por semelhana com a situao anterior, ns tambm multiplicamos: #:dR$12,00. Mas qual  o resultado dessa multiplicao?
  Se voc est comprando #:d de quilo, deve pagar #:d do preo de um quilo, isto , #:d de R$12,00. Este resultado voc sabe obter:  R$9,00.
  Lendo de novo os dois pargrafos anteriores, voc percebe: #:d12 e #:d *de* 12 so a mesma coisa. E, usando essa ideia, voc poder fazer qualquer multiplicao envolvendo fraes.
  Vamos, ento, multiplicar duas fraes. De acordo com a concluso j obtida, para calcular #,c.#,d, podemos pensar em  #,c *de* #,d.
  Para encontrar o resultado:
<R+>
  representamos #,d;
  dividimos #,d em teros;
  tomamos 1 desses teros;
<34>
  observando bem, notamos que #,c de #,d ou #,c.#,d  #,ab do total.
<R->
  Usando esse mesmo mtodo podemos descobrir o resultado de outras multiplicaes. Por exemplo:
<R+>
  #;c.#,d  igual a #;ab, o que  o mesmo que #,f do total;
  #;c.#:d  igual a #!ab, o que  o mesmo que #,b do total.
<R->
  At aqui mostramos alguns exemplos de multiplicao de fraes. Examinando de novo esses exemplos, talvez voc consiga fazer uma *generalizao*. Dela resulta uma *regra prtica* geral para fazer multiplicaes automaticamente, sem que seja preciso pensar em cada caso particular. Essa regra pode ser expressa com o uso da lgebra. Tente completar esta sentena: 
abcd=''''''
  Nessa sentena, as letras *a*, *b*, *c*, *d* indicam nmeros inteiros (nmeros como 2, 100 ou -23), sendo que os denominadores *b* e *d* no podem ser iguais a zero.

<R+>
 Procure no dicionrio: generalizao.

 Conversando sobre o texto

_`[{para os itens c) e d), pea orientao ao professor_`]

 a) Se eu compro uma quantidade Q de um produto que custa R$10,00 o quilograma, que clculo devo fazer para saber quanto gastei?
 b) Nesse clculo, o resultado pode ser menor do que 10? D exemplo.
 c) Explique, recorrendo  ltima figura _`[no adaptada_`] que aparece no texto, por que #?c de #,d vo dar #?ab.
<p>
 d) Quanto  #,c de #,e? Mostre esse clculo no quadro-de-giz por meio de figuras.
 e) Qual  a regra prtica para multiplicar fraes? Enuncie essa regra com palavras. D exemplos.
 f) Como se completa a sentena  abcd=''''''?
 g) Na frao ab, que nmeros so indicados pelas letras *a* e *b*? Por que *b* no pode ser zero?
 h) Existem fraes negativas, e vamos efetuar multiplicaes com elas. Por isso, convm recordar multiplicaes com inteiros, nas quais aparecem nmeros negativos. Efetue mentalmente:
 -3.12
 -5.-16
 7.-12
 5.-7
 -11.-8
 -33
 -26
 5.4.-2

<35>
 Problemas e exerccios

 28. Isto  quase uma adivinha! Uma multiplicao vai ser efetuada com desenhos. O resultado aparece assinalado em laranja, na 
terceira figura. Qual foi a multiplicao efetuada?

_`[{figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 29. Observe as contas do caderno:
 #:e.7=#:e.#=a=#;,e
 #;c.#,;a=#;c=8
 #:b2=#:b.#:b=#*d
  Use essas contas como modelo e efetue estas outras:
 a) #e.10
 b) #:g.#;e
 c) #;e2
 d) #:h.16
<p>
 30. Efetue em seu caderno #:aj.#,}aa.#=i simplificando o resultado.

 Resoluo

  Na multiplicao, a simplificao pode ser feita antes de efetuar os clculos. Ao simplificar, dizemos que cancelamos certos nmeros. Veja: 
 #:aj.#,}aa.#=i=#,a.#,aa.#=c=#=cc
  Simplifico dividindo por 10.
  Simplifico dividindo por 3.

 31. Efetue usando o exerccio anterior como modelo. Antes de multiplicar, faa os cancelamentos possveis:
 a) 1125023"50011
 b) 371"1427"79
 c) 6007"71.200"23
 d) 415"1816"57
<p>
 32. Leia o texto:

 #;c'''=1
 A frao que multiplicada por #;c resulta em 1  chamada *frao inversa* de #;c.

_`[{histria em quadrinhos: Uma mulher e um homem conversam. Ela diz: "Como pode #;c vezes outra frao dar 1?". Ele responde: "Isso 
acontece aps a simplificao". A mulher pergunta: "E como eu descubro essa outra frao?". Ele responde: "Faa tentativas"_`]

 a) Qual  a frao inversa de #;c?
 b) Encontre a frao inversa de cada uma destas fraes: #:e; #=d; #,c.
 c) Qual  a frao inversa da frao pq? (As letras *p* e *q* representam nmeros inteiros diferentes de zero).

<36>
<p>
 33. Em certo pas, a lei que rege a diviso de heranas determina que #,aj deve ser pago ao governo na forma de impostos; do restante, 
#,b fica com a viva e #,b  repartido igualmente entre os filhos. Se a herana era de 6.000 unidades monetrias e havia 3 filhos, 
quanto recebeu cada um?

 Resoluo

  Descontados os impostos, restam 1-#,aj=#*aj da herana. A parte dos filhos  #,b.#*aj=#*bj.
  Havendo 3 filhos, cada um deve receber #,c de #*bj.
  Portanto, a parte de cada um  #,c.#*bj=#:bj. Assim, cada filho recebeu #:bj.6.000=900, isto , cada filho recebeu 900 unidades monetrias.

 34. Em certo colgio do Rio de Janeiro, #:e dos alunos torcem pelo Flamengo e, dos restantes, #;c torcem pelo Vasco. O colgio tem 1.275 alunos.
 a) Que frao dos alunos torce pelo Vasco?
 b) Quantos torcem pelo Flamengo? E pelo Vasco?
 c) Quantos so torcedores do Fluminense?

 35. Para multiplicar fraes negativas ou positivas convm recordar o que voc j aprendeu:

_`[{uma professora diz: "Voc no esqueceu estas regras, no ?", e mostra no quadro-de-giz o registro: "positivo  positivo = 
  = positivo; negativo  negati-
  vo = positivo; positivo  negativo = positivo; negativo  positivo = negativo"_`]

  Agora efetue:
 a) -#c2
 b) -#=e.-#,e
 c) #:d.-8
 d) -#,b3

 Problemas e exerccios para casa

 36. Para relembrar as regras de sinais da multiplicao, efetue:
 a) 12.-3.4
 b) -73
 c) -15.4.-5
 d) -52.-6

 37. Efetue em seu caderno, simplificando quando possvel:
 a) #=c.#:g
 b) -#:e3
 c) #,:gjj.#:?}ci
 d) -#:e.#=aa.#;?c
 e) -#;c.-#,b.#?d
 f) #;g.-#,i.#!e

 38. Efetue os clculos indicados nas *expresses numricas*:
 a) #:e.#,c-#,b
 b) -#;i.#,d+#,e
 c) #;e-#c.#,b3+#:d
 d) -#=i.#;c-#e.15

 Procure no dicionrio: expresso numrica.

<37>
 39. Faa o que se pede.
 a) Copie e complete a tabela em seu caderno:
 
<F->
 !::::::::::::::::::::::::::::
 l Expresso     _ Resultado _
 r::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 1+#,b.3    _ '''        _
 r::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 1+#,c.4    _ '''        _
 r::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 1+#,d.5    _ #;?d       _
 r::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 1+#,e.6    _ '''        _
 h::::::::::::::::j::::::::::::j
<F+>

 b) Nos clculos do item anterior, voc percebeu um padro? No seu caderno, usando esse padro, escreva o resultado de:
  1+#,iii1.000.
 c) Escreva tambm o resultado de: 1+11.1991.200.
 d) Copie e complete a descrio do padro observando nesta questo:
*A soma de 1 com 1n multiplicada por ''' resulta 
  em '''*
<p>
 40. Veja o exemplo:
#c de ho-
  ra =#c.60 min =80 min =1 h 20 min.
  Calcule as seguintes fraes de hora:
 a) #:d
 b) #?d
 c) #,,f
 d) #!e

 41. Copie em seu caderno, substituindo ''' pela frao correta:
 a) #:d'''=1
 b) #=e'''=2
 c) #*d'''=3
 d) #!e'''=4

 42. Um ciclista decidiu percorrer os 500 km da estrada Rio de Janeiro-Vitria. No primeiro dia, fez #,d do percurso. No segundo dia, muito cansado, percorreu apenas #;e do que havia percorrido no dia anterior.
<p>
 a) No final do segundo dia, que frao do caminho ainda falta percorrer?
 b) Quantos quilmetros ele percorreu nos dois primeiros dias?
 c) Quantos quilmetros do percurso restam para terminar a viagem?

 43. Este problema  um desafio!
  No problema 26, voc conheceu Cludia e Vilma, secretrias do Aurlio. Lembra-se delas? Agora, a situao  esta: Cludia, sozinha, faz certo servio em 4 horas e Vilma, em 6 horas.
 a) Trabalhando juntas, que frao do servio elas faro em 1 hora?
 b) Trabalhando juntas, em quanto tempo faro o servio todo?
<R->

<38>
<p>
 Diviso

  Em alguns casos,  possvel efetuar divises com fraes fazendo desenhos. Por exemplo, para dividir #,b por 3, podemos representar a frao #,b e dividi-la em 3 partes iguais. Veja:

 !::::::::::::::::::::::::::
 l                          _
 r::::::::::::::::::::::::::w
 l          #,b             _
 h::::::::::::::::::::::::::j

 !::::::::::::::::::::::::
 l        _        _        _
 r::::::::w::::::::w::::::::w
 l #,f    _ #,f    _ #,f    _
 h::::::::j::::::::j::::::::j

  Assim, conclui-se que  #,b3=#,f.
  Em outros casos,  possvel efetuar a diviso com um raciocnio simples. Por exemplo, quanto ser 1#,c? Como dividir significa, entre outras coisas, verificar quantas vezes uma quantidade cabe em outra, pensamos em quantas vezes #,c cabe em 1. A concluso  que 1#,c=3.

<R+>
_`[{a menina diz: "Esses casos eu entendi. Mas... como divido #:g por #e? Isso parece complicado!"_`]
<R->

  Seria difcil fazer essa diviso por meio de desenhos ou verificando quantas vezes o divisor cabe no dividendo. Felizmente, existe uma regra prtica para efetuar divises de fraes que se aplica a todos os casos. A regra  fcil de usar, mas apenas saber usar  pouco. Na Matemtica (e na vida em geral)  importante compreender o porqu das coisas. Para isso, convm relembrar certas propriedades da diviso.
  Voc j deve ter notado que, em toda diviso, se multiplicarmos dividendo e divisor por um mesmo nmero (exceto zero), o quociente no se altera. Por exemplo:
 546=9
 54060=9
  Veja que 6 cabe 9 vezes em 54, assim como 60 cabe 9 vezes em 540.
  Multiplicar o dividendo e o divisor por 10 no alterou a relao entre eles.
<39>
  Vamos usar essa propriedade na diviso de fraes. Por exemplo, na diviso #:g#e multiplicaremos dividendo e divisor por #?d. Escolhemos essa frao porque ela  a frao inversa do divisor  #e. Veja o que acontece:
 #:g#e=#:g.#?d#e.#?d=
  =#:g.#?d1=#,?bh
  Percebeu o truque? Multiplicando dividendo e divisor pela frao inversa do divisor, o novo divisor se torna 1. Isso  conveniente porque  fcil dividir qualquer nmero por 1: o resultado  o prprio nmero. Assim, resta apenas uma multiplicao, que j sabemos efetuar.
  A diviso que mostramos para as fraes #:g e #e poderia ser feita de maneira similar para quaisquer outras fraes. Poderamos at mesmo efetuar abcd. E quem consegue efetuar esta ltima diviso  capaz de encontrar uma regra prtica que permite fazer as divises automaticamente.
  Vamos parar por aqui. O restante da discusso fica por conta de seu professor e da turma toda.

<R+>
 Conversando sobre o texto

_`[{para a atividade c), pea orientao ao professor_`]

 a) Qual  o resultado de 1#,e?
 b) Explique por que 2#,e d 10.
 c) Efetue, fazendo figuras na lousa, esta diviso: #,c3.
 d) Sabendo que 6817 d 4, diga qual  o resultado de 680170. E o de 6.8001.700?
<p>
 e) Efetue a diviso abcd. Use o truque de multiplicar dividendo e divisor pela frao inversa do divisor.
 f) Qual  a regra prtica para dividir fraes? Enuncie a regra em nossa lngua.
 g)  possvel aplicar a regra prtica para efetuar #:g2? O nmero 2 pode ser considerado frao? Existe frao inversa de 2?

 Problemas e exerccios

 44. Explique com palavras e figuras, sem usar regra alguma, por que 3#,b d 6.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 45. Veja o exemplo:
 #i#bg=#i.#;=d=#;a.#:a=6
  Efetue as divises em seu caderno, usando a regra prtica:
 a) #ae#,cj
 b) #,;ba#!g
 c) #,?}g#:}}g
 d) #*ae#,be

<40>
 46. Acompanhe as explicaes do professor:

_`[{o professor mostra no quadro-
  -de-giz "#,c" e diz: "O trao de frao tambm indica diviso. Aqui temos 1 dividido por 3". Agora no 
quadro est registrado: "?#,c-2*~#:d", e o professor fala: "E aqui achamos o resultado de #,c menos 2 e dividimos esse resultado 
por #:d"_`]

  Agora, efetue em seu caderno:
 a) ?#,c-2*~#:d
 b) ?2-#:e*~?1+#,b*

 47. No clculo escrito, s vezes,  mais fcil operar com fraes no lugar de decimais. Veja este exemplo:
 2,10,25=2,1#,d=2,1.4=8,4 (Note que 0,25=#;?ajj=#,d.)
 a) Em seu caderno, escreva 0,75 na forma de frao e simplifique a frao.
 b) Seguindo o exemplo, efetue 2,10,75.
 c) Escreva 0,125 na forma de frao, simplificando-a.
 d) Efetue 2,10,125.

 48. Restaram #:e da mesada de Joo Francisco, que correspondem a R$36,00. De quanto  a mesada?

 Resoluo

  Veja dois mtodos de resoluo.

 Mtodo 1

 #:e :o 36
 dividindo por 3
 #,e :o 12
 multiplicando por 5
 #?e :o 60
<p>
 Mtodo 2

 #:e.x=36
 Note: #:e.x significa tambm 3.x5. Obtemos *x* efetuando operaes inversas:
 3.x=36.5
 x=?36.5*3
 x=60

  Joo Francisco recebe R$60,00 de mesada.

 49. A projeo de #:d de um filme durou 2 horas. Quantas horas e quantos minutos dura o filme todo?
 50. Escreva uma expresso numrica envolvendo fraes positivas ou negativas. Mas ateno! O resultado deve ser #,d. Na expresso devem existir pelo menos trs operaes. Vale usar potncias ou parnteses.
  Depois, troque sua expresso com a de um colega, para que cada um confira a do outro. (D a seu colega apenas a expresso. Ele dever efetuar os clculos para verificar se o resultado  o desejado.)

<41>
 Problemas e exerccios para casa

 51. Usando figuras, mostre que #,e2 d #,aj.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 52. Efetue em seu caderno:
 a) #,ae#;,be
 b) #,!ca#ca
 c) #;e-#:g
 d) -#;e-#,c

 53. Efetue em seu caderno:
 a) 1-#,b2.#,e+#;be#,e
 b) -#;c2--#,b3+#:e#:aj
 c) ?#:e#,b*~?#;c3*
 d) ?#,e-#,e2#,e*~?1-#:b*
<p>
 54. Resolva as equaes em seu caderno:
 a) #;e.x=32
 b) #:d.x=21

 55. Copie e complete a tabela em seu caderno:

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Forma de frao
 2 coluna: Forma decimal

 !::::::::::::::::
 l 1 _ 2       _
 r:::::w:::::::::::w
 l #,i _ 0,111... _
 r:::::w:::::::::::w
 l #;i _ '''       _
 r:::::w:::::::::::w
 l #?i _ '''       _
 r:::::w:::::::::::w
 l #!i _ '''       _
 h:::::j:::::::::::j

 56. Efetue em seu caderno os clculos seguintes. Opere na 
<p>
  forma de frao e use a tabela do exerccio anterior.
 a) 1,20,222...
 b) 3,6.0,111...
 c) 30.0,333...
 d) 0,777...0,222...

 57. Copie em seu caderno e complete:
 a) Para encontrar um denominador comum de #=bj e #,,bd, podemos calcular '''
 b) Para multiplicar duas fraes, basta multiplicar seus ''' e seus '''
 c) O produto de uma frao por sua frao inversa  '''
 d) Para dividir duas fraes, podemos multiplicar a primeira pelo '''
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  explicar o que  frao e quais so seus principais usos;
  efetuar operaes com fraes usando os processos prticos;
  justificar (ainda que parcialmente) esses processos prticos;
  resolver problemas envolvendo fraes.
<R->

 INCRVEL!!

 ?#;c-#=e8*?#:d-351*
  ?#;c-#=e8*?#:d-351*=
  =1

<42>
 Um toque a mais

<R+>
 Msica e fraes: uma relao surpreendente
<R->

  (Recomenda-se a leitura deste texto com um violo ao lado, experimentando nele os fatos descritos.)
  Quase todo mundo gosta de msica. Mesmo quem no toca instrumentos conhece a sequncia de notas d, r, mi, f, sol, l, si. Com essas sete notas, e mais cinco notas auxiliares, doze ao todo, tem sido composta praticamente toda a msica ocidental (isto , da Europa, das Amricas e da Austrlia), nos ltimos dois milnios. E isso vale para sinfonias, sambas e *rocks*.
  O surpreendente  que as notas musicais foram descobertas com o uso das fraes. Voc no acredita? Pois vamos contar essa histria.
  Sempre houve msica, mas, no passado distante, as notas tocadas em um instrumento eram diferentes das de outro. No havia regras ou medidas para produzir notas, at aparecer Pitgoras, um dos mais famosos matemticos da Grcia antiga, que viveu no sculo VI antes de Cristo.
  Diz a lenda que, ao passar em frente  oficina de um ferreiro, ele notou que os sons das marteladas eram agradveis para o ouvido e se combinavam muito bem. Para pesquisar esses sons, construiu um instrumento, mais tarde chamado de monocrdio, que pode ser imaginado como um violo de uma corda s (*mono* indica um e *crdio* tem que ver com corda). Usando essa nica corda, ele conseguiu reproduzir os quatro sons harmoniosos que havia escutado.
  Em vez do monocrdio, podemos ilustrar as descobertas de Pitgoras num hexacrdio, quer dizer, num violo. Primeiro, conhea o violo:

<R+>
_`[{figura de um violo com as seguintes partes nomeadas: cavalete, pestana, uma das casas e 12 casa_`]
 Legenda: So 19 casas, separadas por trastes.
<R->

  Nesse instrumento, o comprimento da corda  a distncia da pestana ao comeo do cavalete (haste branca), porque essa  a parte que vibra e produz som. Agora, podemos acompanhar o que Pitgoras descobriu.
<R+>
  Tomando #,b do comprimento da corda, produz-se uma nota igual  da corda toda, s que mais aguda.
<R->
  Esse fato pode ser comprovado com qualquer corda do violo, apertando-a na 12 casa. A corda encosta no traste que separa essa casa da 13, o qual divide a corda na metade.

<43>
<R+>
_`[{figura de um violo com um dedo pressionando a 12 casa_`]
 Legenda: Pressionando na 12 casa, dividimos a corda ao meio.
<R->

  Primeiro, faa vibrar a corda inteira. Depois, aperte a 12 casa, e faa vibrar apenas metade da corda. Voc ouvir a mesma nota, s que mais aguda. Se a corda solta  um d, #,b da corda ser outro d. Se for r, #,b da corda ser outro r. E assim por diante.
  Agora, deixe o violo de lado por algum tempo. Vamos imaginar uma corda que produza a nota d, sem pensar em instrumento algum.
<R+>
  Tomando #;c do comprimento da corda d, produz-se a nota sol.
  Tomando #:d do comprimento da corda d, produz-se a nota f.
<R->
  Assim, usando fraes bem simples, Pitgoras determinou as notas d, f, sol e d mais agudo.
  Durante sculos, essa descoberta foi considerada uma maravilha. O segredo da harmonia dos sons estava contido em quatro nmeros, justamente os menores, 1, 2, 3 e 4, que formavam as fraes mais simples #,b, #;c e #:d. Esse teria sido um dos motivos que levaram Pitgoras e seus discpulos a criar uma estranha religio baseada em nmeros.
  A partir das notas musicais determinadas por Pitgoras, as demais notas da escala surgem tomando fraes das fraes j usadas. No entraremos em detalhes para no cansar nossos leitores e leitoras. Daremos um s exemplo: #;c de #;c de uma corda, ou seja, #i dela, produz uma nova nota, conhecida como r. E o dobro desse tamanho, isto ,  #i da corda,  outro r, s que mais grave.
<44>
  A partir das pesquisas de Pitgoras foram estabelecidas as 7 notas fundamentais da msica porque se determinou uma maneira precisa de produzi-las por meio de fraes das cordas. Nessa escala pitagrica, um padro interessante  que os numeradores e denominadores das fraes so 1, 2 ou 3 ou potncias de 2 ou 3, como 4, 9, 16 etc.
  Com os progressos na arte musical e na fabricao de instrumentos, a escala pitagrica acabou sendo ligeiramente modificada, por volta do sculo XVII. Atualmente, se uma corda tem o som de d, o som de sol no corresponde exatamente a #;c dela. No entanto, corresponde ainda a aproximadamente #;c da corda.
<p>
  Que tal verificar esses fatos concretamente? Vamos ao violo outra vez!
  Se ele est bem afinado, apertando a 1 casa na segunda corda (contada de baixo para cima), temos um d. Mea o comprimento de corda que corresponde a essa nota. Mas ateno: no  o comprimento todo da corda, mas sim o que vai do traste que separa as duas primeiras casas at o cavalete. 

<R+>
_`[{figura de um violo com as seguintes partes destacadas: cavalete, 2 corda, D agudo (13 casa), Sol (8 casa), F (6 casa), 
R (3 casa), Traste, D grave (1 casa)_`]
<R->

  Feita essa medida, voc poder verificar a validade das fraes pitagricas. Primeiro, observe como produzir o r, o f, o sol e um outro d, mais agudo.
<p>
  Em seguida, em cada caso, mea o comprimento da parte livre da corda e s depois responda. Ser que o comprimento de corda correspondente ao r  mesmo #i do comprimento que produz a nota d? Ser que o comprimento de corda que produz f  #:d daquela que produz d? E o comprimento de sol  realmente #;c?

  As notas d, r, mi, f, sol, l e si tornaram-se a base de nossa msica. O fato de essas notas resultarem de fraes simples como #,b, #;c e #:d parece uma coincidncia to grande quanto misteriosa. No foi  toa que Pitgoras disse que os nmeros governam o mundo. O que voc acha, ele tinha razo?

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Primeira Parte